নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-২.১ সেট
SSC Class 9-10 Math onushiloni 2.1 Solution BD খুঁজছো? নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত অনুশীলনী ২.১ অনেক গুরুত্বপূর্ণ একটি অংশ। এই পোস্টে আমরা SSC math exercise 2.1 এর সব প্রশ্নের সহজ ও step-by-step সমাধান দিয়েছি, যাতে তুমি সহজে বুঝতে পারো এবং পরীক্ষার জন্য ভালোভাবে prepare নিতে পারো।
১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) {x ∈ N : x2 > 9 এবং x3<130}
সমাধানঃ
এখানে N={1,2,3,4,5,6,7……..}
যেসব স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 9 অপেক্ষা বড় এবং স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 130 অপেক্ষা ছোট সেগুলো নিচে বের করা হলো ।
এখানে ,x=1 হলে, x^2 = 1^2 = 1/>9 ,x^3 = 1^3 = 1 < 130
x=2 হলে, x^2 = 2^2 = 4/>9 , 2^3 = 4 < 130
x=3 হলে, x^2 = 3^2 = 8/>9 , 3^3 = 27 < 130
x=4 হলে, x^2 = 4^2 = 16>9 , 4^3 = 48 < 130
x=5 হলে, x^2 = 5^2 = 32>9 , 5^3 = 125 < 130
x=6 হলে, x^2 = 6^2 = 64>9 , 6^3 = 264 </130
এখানে, 4,5 শর্তগুলো পূরণ করে।
তাহলে, নির্ণেয় সেট={4,5}
খ) {x ∈ Z : x2>5 এবং x3≤36}
সমাধানঃ
পূর্ণ সংখ্যার সেট, Z={….-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6….}
এবং 5 থেকে বড় যেসব সংখ্যার বর্গ সেগুলো হলোঃ 3,4,5,6…
কারণ, x=-3 হলে (-3)2>5
x=-4 হলে (-4)2>5
x=3 হলে 32>5
x=4 হলে 42>5
আবার, 36 অপেক্ষা ছোট বা সমান যেসব সংখ্যার ঘন সে সংখ্যাগুলো 1,2,3.
কারণ x=1 হলে 13<36
x=2 হলে 23<36
x=3 হলে 33<36
কিন্তু, x=4 হলে 43≮36
সুতরাং, x=±3, ±4, ±5, ±6
তাহলে, নির্ণেয় সেট={±3, ±4, ±5, ±6}
গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক}
সমাধানঃ
এখানে, N={1,2,3,4,5,6…….}
36=1✕36=2✕18=3✕12=4✕9=6✕6
36 এর গুণনীয়কগুলো হলো=1,2,3,4,5,6,9,12,18,36
এবং 6 এর গুণিতক হলোঃ 6,12,18,36……..
∴নির্ণেয় সেট={6,12,18,36}
ঘ) {x ∈ N : x3>25 এবং x4<264}
সমাধানঃ
এখানে N={1,2,3,4,5,6,7……..}
এখানে ,x=1 হলে, x^3 = 1^3 = 1/>25 ,x^4 = 1^3 = 1 < 264
x=2 হলে, x^3 = 2^3 = 8/>25 , 2^4 = 16 < 264
x=3 হলে, x^3 = 3^3 = 27>25 , 3^4 = 81 < 264
x=4 হলে, x^3 = 4^3 = 48 >25 , 4^4 = 256 < 264
x=5 হলে, x^3 = 5^3 = 125 >25 , 5^4 = 625 </ 264
এখানে, 3,4 শর্তগুলো পূরণ করে।
তাহলে, নির্ণেয় সেট={3,4}
২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) {3, 5, 7, 9, 11}
ধরি,
A = {3, 5, 7, 9, 11}
এখানে উপাদানগুলো স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা এবং 3 থেকে 11 এর মধ্যে।
∴ A = { x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং 3 ≤ x ≤ 11 }
খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
ধরি,
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
এখানে প্রতিটি উপাদান 36 এর গুণনীয়ক।
∴ A = { x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক }
গ) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}
ধরি,
A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}
এখানে উপাদানগুলো 4 এর গুণিতক এবং সর্বোচ্চ মান 40।
∴ A = { x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং 4 ≤ x ≤ 40 }
ঘ) {±4, ±5, ±6}
সমাধানঃ
ধরি,
A = {±4, ±5, ±6}
এখানে x এর মান পূর্ণসংখ্যা এবং 4 থেকে 6 পর্যন্ত (ধনাত্মক ও ঋণাত্মক)।
∴A = { x ∈ Z : 4 ≤ |x| ≤ 6 }
৩. A={2,3,4} এবং B={1,2,a} এবং C={2,a,b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর:
ক) B - C
= {1,2,a} – {2,a,b}
= {1,b}
খ) A U B
= {2,3,4} U {1,2,a}
= {1,2,3,4,a}
গ) A ∩ C
= {2,3,4} ∩ {2,a,b}
= {2}
ঘ) (B ∩ C)
={1,2,a} ∩ {2,a,b}
={2,a}
এখন, A U (B ∩ C)
= {2,3,4} U {2,a}
= {2,3,4,a}
ঙ)(B U C)
={1,2,a} U {2,a,b}
={1,2,a,b}
এখন, A ∩ (B U C)
= {2,3,4} ∩ {1,2,a,b}
= {2}
৪. U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7} হলে, নিন্মলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করঃ
ক) (A ∪ B)’=A’ ∩ B’
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
A ∪ B = {1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
A’ = (U-A)= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,3,5}={2,4,6,7}
B’ = (U-B) {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7}
এখন, L.H.S = (A ∪ B)’
∴ U-( A ∪ B)
= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,4,5,6}
={7}
আবার, R.H.S= A’ ∩ B’
∴ (U-A) ∩ (U-B)
= {2,4,6,7} ∩ {1,3,5,7}
={7}
∴L.H.S=R.H.S (Proved)
খ) (B ∩ C)’=B’ ∪ C’
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
(B ∩ C)= {2,4,6}∩{3,4,5,6,7}={4,6}
B’ = (U-B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7)
C’ = (U-C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{3,4,5,6,7}={1,2}
এখন, L.H.S=(B ∩ C)’
=U-(B ∩ C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{4,6}
={1,2,3,5,7}
আবার, R.H.S= B’ ∪ C’
={1,3,5,7} ∪ {1,2}
={1,2,3,5,7}
∴L.H.S=R.H.S (Proved)
গ) (A ∪ B) ∩ C=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
(A ∪ B)= {1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
এখন,(A ∪ B)= {1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
(A ∩ C)= {1,3,5} ∩ {3,4,5,6,7}={3,5}
(B ∩ C)= {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}={4,6}
L.H.S = (A ∪ B) ∩ C={1,2,3,4,5,6} ∩ {3,4,5,6,7}
={3,4,5,6}
R.H.S=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
= {3,5} ∪ {4,6}
={3,4,5,6}
∴L.H.S=R.H.S (Proved)
ঘ) (A ∩ B) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
যেখানে, A ∩ B={1,3,5} ∩ {2,4,6}={}
(A ∪ C)= {1,3,5}∪{3,4,5,6,7}={1,3,4,5,6,7}
(B ∪ C)={2,4,6} ∪ {3,4,5,6,7}={2,3,4,5,6,7}
L.H.S = (A ∩ B) ∪ C ={} ∪ {3,4,5,6,7}
={3,4,5,6,7}
R.H.S = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
= {1,3,4,5,6,7} ∩ {2,3,4,5,6,7}
={3,4,5,6,7}
∴L.H.S=R.H.S (Proved)
৫. Q={x,y} এবং R={m,n,l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
Q={x,y}
R={m,n,l}
∴P(Q)={{x,y),{x},{y},∅}
এবং,
∴ P(R)={{m,n,l},{m,n},{m,l},{n,l},{m},{n},{l},{∅}}
৬. A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ Bহলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n ,যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ B
C=A ∪ B={a,b}∪{a,b,c}={a,b,c} এর উপাদান সংখ্যা 3 বা n
P(C)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},∅}এর উপ্পাদান সংখ্যা 8 বা 23 বা 2n (দেখানো হলো)
৭.ক) (x-1,y+2)=(y-2,2x+1) হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, (x-1,y+2)=(y-2,2x+1)
ক্রমজোড় নীতি থেকে পাই,
x-1=y-2……………(a)
y+2=2x+1…………(b)
(a)...... হতে,
x-1=y-2
বা, x=y-2+1
বা, x=y-1----------(c)
x এর মান (b) তে বসাই,
y+2=2(y-1)+1
বা, y+2=2y-2+1
বা, y+2=2y-1
বা, y-2y=-1-2
বা, -2y=-3
বা, y=3
y=3, (c) এ বসাই,
x=3-1=2
∴ (x,y)=(2,3)
খ) (ax-cy, a2-c2)=(0,ay-cx) হলে (x,y) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক্রমজোড় নীতি থেকে,
ax-cy=0…………..1
a2-c2= ay-cx ……….2
এখন,
ax-cy=0
বা, ax=cy
বা, x=frac{cy}{a} এই মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
বা, 1=frac{y}{a}
বা, a=y
বা, y=a এই মান (1) নং এ বসাই,
ax-ca=0
বা, ax=ca
বা, x=ca/a
বা, x=c
∴ (x,y)=(c,a)
গ) (6x-y,13)=(1,3x+2y) হলে, (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক্রমজোড় নীতি থেকে,
6x-y=1…………..(1)
3x+2y=13…………..(2)
(1) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই..
12x-2y=2……………..(3)
(2)+(3) করে পাই,
15x=15
বা, x=15/15
বা, x=1 এই মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
6✕1-y=1
বা, 6-y=1
বা, -y=1-6
বা, -y=-5
বা, y=5
∴ (x,y)=(1,5)
৮. ক) P = {a}, Q={b,c} হলে, P×Q এবং Q×P নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
P×Q
={a}×{b,c}
= {(a,b),(a,c)}
এবং Q×P
= {b,c}×{a}
= {(b,a),(c,a)}
খ) A={3,4,5}, B={4,5,6} এবং C={x,y} হলে, (A∩B)×C নির্ণয় কর।
সমাধানঃ:
(A∩B)×C
= ({3,4,5}∩{4,5,6})×{x,y}
= {4,5}×{x,y}
= {(4,x),(4,y),(5,x),(5,y)}
গ) P={3,5,7}, Q={5,7} এবং R=P-Q হলে, (PUQ)×R নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(PUQ)×R
= ({3,5,7}U{5,7})×(P-Q)
= {3,5,7}×(P-Q)
= {3,5,7}×({3,5,7}-{5,7})
= {3,5,7}×{3}
= {(3,3),(5,3),(7,3)}
